201303162130


Lab 11.  PI - регулятор (только для автоматиков)

               ПиСтоЛет - столетний юбилей числа PI (3.14159)

Сразу оговорюсь PI - регулятор никакого отношения к числу PI не имеет, название происходит от сокращения слов (п)ропорциональный (и)нтегрирующий. И если группы EA, EV могут безболезненно пропустить данную тему, а PA, PV вскользь касались P, PI, PID регуляторов в курсах "основы автоматики" и "автоматизированные системы управления технологическими процессами АСУ-ТП" (по доброй традиции читаются лет 60), то автоматикам обойти эту тему стороной вероятно сложнее, чем сменить специальность.

Итак, welcome to analogue world, мир без компьютеров (если не считать АВМ). Пропорциональный регулятор.

              +--------+  
              |        |  
  Ai ->-(X)---+   Kp   +----+->- Aq
         |    |        |    |
         |    +--------+    |
         |                  |
         +---------<--------+

  Aq = (Ai - Aq) * Kp     Aq * (1 + Kp) = Ai * Kp
  
         Kp
  Aq = ------ * Ai
       1 + Kp
       
Внесем сигнал Ошибки (О) на вЫход (Ы) усилителя с коэффициентом Усиления (У). Обозначим сигнал на Входе (В). Итого
  
            У           У
  Ы = Ы * ----- + О * ----- 
          1 + У       1 + У
          
Ошибка равна нулю !(шутка). Обозначим латиницей:

  ошибка                                - е
  вход                                  - х
  выход                                 - y
  усиление                              - k
  уровень сигнала в промежуточной точке - s
  
                           e
              +--------+   |
             s|        |   v
  x -->-(X)---+    k   +--(+)--+->- y
         |    |        |       |
         |    +--------+       |
         |                     |
         +---------<-----------+
                        
  y = s * k + e = (x - y) * k + e = x * k - y * k + e 
  y * (1 + k) = x * k + e 
  y = (x * k + e) / (1 + k) = x * k / (1 + k) + e / (1 + k)
  
Отрицательная обратная связь снижает ошибку в точке e в k + 1 раз (без шуток). Чтобы уменьшить ошибку до нуля нужен усилитель с бесконечным коэффициентом усиления. Такой усилитель засвистит (склонен к самовозбуждению). Если времени не жаль, можно потребовать идеального регулирования через то время, которого не жаль. Будем уменьшать коэффициент усиления пропорционально частоте. Быстренько изучаем операторный метод Лапласа и преобразование Фурье: переход из континуума амплитуда-время в пространство амплитуда-частота* 

*) Замечания:

  1. Если что-либо можно доказать на бумаге, лучше сделать это: можно просто попробовать, но пробовать надо каждый вариант в отдельности,  а  доказательство  сразу дает всю гамму решений (0 .. oo). Кроме того, любой шаг в неизвестность связан с риском (количество попыток - одна).
     
  2. FFT (fast Fourier transformation) не подходит, компьютеров нет - "аналоговый" мир - по договоренности.

                              k
       y(t) = kt  --> y(f) = ---
                             2пf

Снова ПИ.. Зато мы построили I-регулятор. Что и сделали в программе Siemens!Logo Comfort, создав функциональный блок "Pi-controller".
 
Добавим дифференцирующую составляющую (D-). Подадим на вход Хевисайда, на выходе получим некое подобие затухающего синуса. Когда он полностью затухнет? Правильно, никогда. Если надо быстрее, чем "никогда" - придется делать тюнинг для P- I- и D- составляющих (соединив все в PID-регулятор). 

Варианты:

  1. Показать на экране осциллографа (PI Trend View) сигналы на выходе генераторов пилообразного, треугольного, гармонического и прямоугольного сигналов.
     
  2. Показать на экране двухлучевого осциллографа (PI Trend View) сигналы sin(2пft) и cos(2пft).
     
  3. Показать на экране осциллографа (PI Trend View) пилообразную реакцию интегратора на меандр.

  
  