MD to HTML with MS VSC +
Markdown All in One by Yu Zhang
Table Prettifier by Krisztian Daroczi
Markdown+Math by goessner
Google Chrome -> print to pdf -> A4, Portrait,
Margins: top, bottom .4" left, right 0", Scale 130%
[ ] Headers and Footers
[ ] Background Graphics
 
234567891123456789212345678931234567894123456789512345678961
--------|---------|---------|---------|---------|---------|-
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ~= 13.7

Revision N05

sfiz.ru

Написание формул на LaTeX

В данном кратком руководстве описаны основные команды формата LaTeX.

$~$

Набор простых формул

$~$

Степени и индексы

Степени и индексы набираются c помощью знаков ^ и _ соответственно. Если показатель степени или индекс являются выражением, состоящим более чем из одного символа, то их надо заключать в фигурные скобки { и }. Например, следующие выражения

Код:

$
a^2 + b^2 = c^2, \\
a_2 + b_2 = c_2, \\
a^{8+2} + b_{5+5} = c^{10}, \\
a^{b^{c}}
$

формируют формулы

$\Large \\ a^2 + b^2 = c^2, \\ a_2 + b_2 = c_2, \\ a^{8+2} + b_{5+5} = c^{10}, \\ a^{b^{c}}$

Если у одной буквы есть как верхние, так и нижние индексы, то их можно указать в произвольном порядке: пишем

Код:

$a_{10}^{20} a^2_3$

получаем:

$\Large a_{10}^{20} a^2_3$

Если требуется, чтобы индексы располагались не один под другим, a на разных расстояниях от выражения, к которому они относятся, то нужно оформить часть индексов как индексы к "пустой" формуле (паре из открывающей и закрывающей фигурных скобок): пишем

Код:

$R_j{}^i{}_{kl}$

получаем:

$\Large R_j{}^i{}_{kl}$

$~$

Дроби

Дроби, обозначаемые косой чертой, набираются непосредственно:

Код:

$x + 1/x$

получаем:

$\Large x + 1/x$

Дроби, в которых числитель расположен над знаменателем, набираются c помощью команды \frac{числитель}\{знаменатель}. Эта команда имеет два аргумента -- числитель и знаменатель

Код:

$$
\frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = ab
$$

получаем:

$~$

Скобки

Круглые и квадратные скобки набираются непосредственно. Для набора фигурных скобок используются команды \{ и \}. Другие типы скобок набираются c помощью команд \lceil, \rceil, \lfloor, \rfloor, \langle, \rangle. Например,

Код:

$(), [], \{ \}, \lceil \rceil, \lfloor \rfloor,  
 \langle \rangle, | |$

дает

$\Large (), [], \{ \}, \lceil \rceil, \lfloor \rfloor, \langle \rangle, | |$

Для автоматического выбора размера скобок используются команды \left и \right, помещаемые перед открывающей и перед закрывающей скобками соответственно. Сравните:

Код:

$\Large (x + \frac{1}{(\frac{2}{x})})^2$  
vs  
$\Large\left( x + \frac{1}{(\frac{2}{x})} \right)^2$ 

$\Large (x + \frac{1}{(\frac{2}{x})})^2$

vs

$\Large\left( x + \frac{1}{(\frac{2}{x})} \right)^2$

$~$

Корни

Корни набираются c помощью команды \sqrt[n]{выражение}, обязательным аргументом которой является подкоренное выражение. Кроме обязательного аргумента можно указать необязательный аргумент, заключаемый в квадратные скобки, который является показателем корня. Пример:

Код ():

$\Large\sqrt{x + 1},            \sqrt[3]{x+1}$

получим:

$\Large\sqrt{x + 1},            \sqrt[3]{x+1}$

$~$

Штрихи и многоточия

Штрихи обозначаются c помощью знака ' ($\large f'(x)$)

Различают многоточия по центру строки (команда \cdots) и по низу строки (команда \ldots):

Код:

$\large a_1+a_2+\cdots+a_n, \\ a_1+a_2+\ldots+a_n$

получим:

$\large a_1+a_2+\cdots+a_n, \\ a_1+a_2+\ldots+a_n$

$~$

Некоторые функции

Функции, имена которых принято набирать прямым шрифтом, набираются c помощью специальных команд, причем команда, как правило, совпадает c именем функции. Приведем полный список функций:

Код:

$
\Large
\arg,  \cos,  \cosh,  \cot,  \coth,  \csc,  \det,  \dim, \\
\exp,  \gcd,  \hom,   \inf,  \ker,   \lg,   \ln,   \log, \\
\max,  \min,  \sec,   \sin,  \sinh,  \sup,  \tan,  \tanh
$

получим:

$\Large \arg, \cos, \cosh, \cot, \coth, \csc, \det, \dim, \\ \exp, \gcd, \hom, \inf, \ker, \lg, \ln, \log, \\ \max, \min, \sec, \sin, \sinh, \sup, \tan, \tanh$

B некоторых функциях требуется указывать дополнительную информацию. B таком случае она оформляется как нижний индекс:

Код:

$$
\Large \min_{i \in [a, b]}, \log_{2},\ldots
$$

получим:

$~$

Суммы, произведения и т.д.

Для некоторых математических операций требуется указать верхние и (или) нижние пределы. Такие операции набираются c помощью следующих команд

Код:

$$
\Large
\sum_{i = 1}^{n},  \prod_{i = 1}^{n},
\bigcup_{i = 1}^{n}, \bigcap_{i = 1}^{n},
\coprod_{i = 1}^{n}, \bigoplus_{i = 1}^{n},
\bigotimes_{i = 1}^{n}, \bigodot_{i = 1}^{n},
\bigvee_{i = 1}^{n},  \bigwedge_{i = 1}^{n},
\biguplus_{i = 1}^{n}, \int_{a}^{b}, \oint_{a}^{b}
$$

получим:

$~$

Неравенства

Строгие неравенства набираются непосредственно:

Код:

a < b,  a > b

получим:

$\Large a<b,a>b$

Для набора нестрогих неравенств используются команды \leq и \geq:

Код:

$a \approx b,  a \neq b$  
$a \leq b,  a \geq b$
$a \leqslant b,  a \geqslant$

получим:

$\Large a \approx b, a \neq b$
$\Large a \leq b, a \geq b$
$\Large a \leqslant b, a \geqslant b$

$~$

Диапазоны значений и системы уравнений

$
X(\omega) = 
  \begin{cases}
    1 &\text{se }\omega \in A \\
    1250 &\text{se }\omega \in A^c
  \end{cases}
$

$\Large X(\omega) =   \begin{cases}     1 &\text{se }\omega \in A \\     1250 &\text{se }\omega \in A^c   \end{cases}$

$
\begin{cases}
   2 |x|(2 - x) = a, \\
   x < 2,            \\
   x \ne 0.
\end{cases}
$

$\Large \begin{cases}    2 |x|(2 - x) = a, \\    x < 2,    \\    x \ne 0. \end{cases}$

$~$

Греческие буквы

Имя команды, задающей греческую букву совпадает c английским названием этой буквы. Исключение составляет буква "o" (омикрон), она совпадает c латинской буквой "o", поэтому специальной команды для нее не предусмотрено. Кроме того, некоторые греческие буквы имеют по два варианта написания, что также отражено в таблице.

Большинство прописных греческих букв совпадает по начертанию c латинскими буквами, поэтому специальных команд для них не предусмотрено -- надо просто использовать соответствующую латинскую букву. Приведем перечень прописных греческих букв, не совпадающих c латинскими:

Код:

$
\Large
\Gamma,   \Delta,   \Theta,   \Lambda,   \Xi,   \Pi,
\Sigma,   \Upsilon, \Phi,     \Psi,      \Omega
$

получим:

$\Large \Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda, \Xi, \Pi, \Sigma, \Upsilon, \Phi, \Psi, \Omega$

$~$

Символы бинарных операций

При выводе символов бинарных операций (наподобие знаков сложения, вычитания и т.д.) оставляются небольшие пробелы по обе стороны от знака. Вот список символов бинарных операций:

$~$

Отрицания

B некоторых случаях требуется получить зачеркнутый символ, наподобие знака $\not =$. Для этих целей используется команда \not, которая "перечеркивает" следующий за ней символ

Код:

$\Large \not =,  \not \subset,  \not = \subset$

получим:

$\Large \not =, \not \subset, \not = \subset$

Для некоторых часто используемых перечеркнутых символов существуют специальные команды, которыми и надо пользоваться:

Код:

$\Large \ne,  \notin$

получим:

$\Large \ne, \notin$

$~$

Символы бинарных отношений

B следующей таблице приведены символы бинарных отношений. Вокруг них, как и вокруг символов бинарных операций, оставляются небольшие пробелы.

$~$

Работа c множествами

B данном разделе собраны команды для работы c множествами, a именно, символы для включения, принадлежности и т.п.

Код:

$~$

Символы операций

$
\cup,  \cap,    \setminus,  \bigtriangleup
\in, \notin, \subset, \supset, \subseteq, \supseteq, \ni
$

получим:

$\Large \cup, \cap, \setminus, \bigtriangleup \in, \notin, \subset, \supset, \subseteq, \supseteq, \ni$

$~$

Крышки, подчеркивания и т.д.

Команды для создания крышек, подчеркиваний и других подобных знаков имеют вид <имя>{выражение}, где <имя> -- имя команды. Вот они:

Код:

$
\Large
\hat{A}   \check{A}  \breve{A}  \acute{A}  \\
\grave{A} \tilde{A}  \bar{A}    \vec{A}    \\
\dot{A}   \ddot{A}
$

получим:

$\Large \hat{A} \check{A} \breve{A} \acute{A} \grave{A} \tilde{A} \bar{A} \vec{A} \dot{A} \ddot{A}$

Можно использовать также следующие команды:

Код:

$
\Large
\widetilde{ABC}  \widehat{ABC}  \overline{ABC} \overbrace{ABC}  \underbrace{ABC}  \underline{ABC}
$

получим:

$\Large \widetilde{ABC} \widehat{ABC} \overline{ABC} \overbrace{ABC} \underbrace{ABC} \underline{ABC}$

Отметим, что первая группа команд действует только на один символ и не "растягивается" на все выражение. Сравните:

Код:

$
\Large
\hat{ABC}    \widehat{ABC} \tilde{ABC}  \widetilde{ABC}
$

получим:

$\Large \hat{ABC} \widehat{ABC} \tilde{ABC} \widetilde{ABC}$

$~$

Шрифты

Для смены шрифтов используются команды вида <имя шрифта>, приведенные в следующей таблице:

Код:

$\mathrm{прямой}$,  
$\mathbf{полужирный}$   
$\mathsf{рубленый}$  
$\mathtt{имитация\; пишущей\; машинки}$  
$\mathcal{рукописный}$   
$\mathit{курсив}$  
$\mathfrak{готический}$  
$\mathbb{для\; обозначения\; множеств}$  

Bce эти команды действуют на один следующий за ними символ. Если нужно изменить шрифт группы символов, то группу надо заключить в фигурные скобки. Кроме того, некоторые шрифты действуют только на прописные буквы:

Код:

$$\Large
\mathrm{xyzXYZ}   \\
\mathbf{xyzXYZ}   \\
\mathsf{xyzXYZ}   \\
\mathtt{xyzXYZ}   \\
\mathcal{xyzXYZ}  \\
\mathit{xyzXYZ}   \\
\mathfrak{xyzXYZ} \\
\mathbb{xyzXYZ}
$$

получим:

Для изменения размера шрифта используются команды:

Код:

$
\Large
\tiny  \scriptsize  \footnotesize  \small  
\normalsize  \large  \Large  \LARGE  \huge  
\Huge  \HUGE
$

Bce эти команды изменяют размер шрифт от места появления команды и до конца формулы (или до следующей команды смены размера шрифта). Если нужно изменить размер только части формулы, то нужно писать так

Код:

$
<обычный\;размер>
{\large <большой\;размер>}
<снова\;обычный размер>
$

$<обычный\;размер> {\large <большой\;размер>} <снова\;обычный размер>$

Пример применения команд:

Код:

$
{\tiny ABCDEFG abcdefg} \\
{\scriptsize ABCDEFG abcdefg} \\
{\footnotesize ABCDEFG abcdefg} \\
{\small ABCDEFG abcdefg} \\
{\normalsize ABCDEFG abcdefg} \\
{\large ABCDEFG abcdefg} \\
{\Large ABCDEFG abcdefg} \\
{\LARGE ABCDEFG abcdefg} \\
{\huge ABCDEFG abcdefg} \\
{\Huge ABCDEFG abcdefg}
$

получим:

${\tiny ABCDEFG abcdefg} \\ {\scriptsize ABCDEFG abcdefg} \\ {\footnotesize ABCDEFG abcdefg} \\ {\small ABCDEFG abcdefg} \\ {\normalsize ABCDEFG abcdefg} \\ {\large ABCDEFG abcdefg} \\ {\Large ABCDEFG abcdefg} \\ {\LARGE ABCDEFG abcdefg} \\ {\huge ABCDEFG abcdefg} \\ {\Huge ABCDEFG abcdefg}$

$~$

Стрелки

B LaTeXe существует достаточно много различных стрелок. Большинство из них собрано в следующей таблице

$~$

Биномиальные коэффициенты и т.д.

Для создания биномиальных коэффициентов служит специальтная команда \choose, имеющая формат: {<верх> \choose <низ>}:

Код:

$$
\Large {a \choose b}
$$

получим:

Теперь рассмотрим вопрос o создании формулы, в которой нижняя часть формулы расположена вровень c остальным текстом, a верхняя - над ним. Для таких формул используется команда \stackrel{<над строкой>}{<в строке>}.

Пример

Код:

$$
\Large
f'(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} 
\lim_{\bigtriangleup x \to 0} 
\frac{f(x + \bigtriangleup x) - f(x)}{\bigtriangleup x}
$$

получим:

Для того, чтобы создать горизонтальную скобку под выражением и сделать подпись под этой скобкой, используется команда \underbrace{<выражение>, где <выражение> -- то выражение, под которым нужно создать скобку. Подпись оформляется как нижний индекс:

Код:

$$
\Large
\underbrace{1 + 2 + \ldots + n}_{n} = {n+1 \choose 2}
$$

получим:

Для создания скобки над формулой используется аналогичная команда \overbrace:

Код:

$$
\Large
\underbrace{1 + \overbrace{2 + \ldots + n-1}^{n-2} + n}_{n} = 
{n+1 \choose 2}
$$

получим:

$~$

Таблицы и матрицы

Для набора таблиц используются команды \begin{array}, и \end{array}. Первая команда открывает таблицы, a вторая -- закрывает ee. Аргумент команды \begin{array} описывает сколько и каких столбцов будет в таблице. B аргументе можно использовать следующие символы:

• l -- столбец выровнен по левому краю,
• c -- столбец выровнен по центру,
• r -- столбец выровнен по правому краю.

Для того, чтобы столбцы были разделены вертикальной чертой, в аргументе команды \begin{array} эти столбцы нужно разделить символом |. Для разделения строк используется команда \hline. Применение этих команд для создания таблиц должно быть понятно из следующего примера:

Код:

$$
\Large
\begin{array}{|lcr|l|c|r|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\
\hline
\end{array}
$$

получим:

Конечно, символы & разделяют столбцы таблицы, a \\ означает конец строки.

Команды \begin{array} и \end{array} можно использовать и для набора матриц: нужно только заключить таблицу в скобки командами \left( и \right). Однако, для этого существуют более удобные команды:

\begin{matrix}...\end{matrix} -- без скобок
\begin{pmatrix}...\end{pmatrix} -- круглые скобки
\begin{bmatrix}...\end{bmatrix} -- квадратные скобки
\begin{vmatrix}...\end{vmatrix} -- детерминант
\begin{Vmatrix}...\end{Vmatrix} -- эвклидова норма*
\begin{Bmatrix}...\end{Bmatrix} -- в фигурных скобках

--

*) Double bars (or sometimes even single bars) tend to denote a norm in Mathematics. Most likely, the double bars here are denoting the Euclidean norm. This is just the length of the vector. So for example, the vector (I shall write it horizontally for compactness) (1,2,3) has length

$$\Large 
\begin{Vmatrix}(1,2,3)\end{Vmatrix}=
\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}
$$

and the vector

$$\Large
\begin{Vmatrix}(3,-1,2)\end{Vmatrix}=
\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{14}
$$

Notice that Ax is just a vector, so $\begin{Vmatrix}Ax\end{Vmatrix}$ is just the length of the vector. $\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}$ is just the length of x. So here you are looking for scaling of x under transformation by A to be between m and M. (Look at $\begin{Vmatrix}Ax\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}$ and think about what it means 'pictorially' to see what I am talking about).

https://math.stackexchange.com/questions/586245/what-does-double-vertical-line-means-in-linear-algebra

--

Приведем пример их использования:

Код:

$$
\Large
\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}, 
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, 
\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}, 
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, 
\begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{Bmatrix}, 
\begin{Vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{Vmatrix}, 
$$

получим:

$~$

Кванторы

Кванторы существования и всеобщности задаются командами \exist и \forall

получим:

???

$~$

Интервалы

Иногда требуется задать в формуле отступ. Для этого используется следующая группа команд

Код:

\,  \:  \;  \quad  \qquad

Пример:

Код:

$\Large a b a \, b a \: b a \; b a \quad b a \qquad b$

$\Large a b a \, b a \: b a \; b a \quad b a \qquad b$

$~$

Логические символы

Опишем символы, используемые в логических формулах.

Код:

• $\vee$ (\vee) -- дизъюнкция (логическое "или")

• $\wedge$ (\wedge) -- конъюнкция (логическое "и")

• $\Large\bar{x}$ (\bar) -- отрицание

• $\forall$ (\forall) -- квантор всеобщности

• $\exist$ (\exist) -- квантор существования

• $\vdash$ (\vdash) -- выводимость

• $\Longleftarrow$ (\Longleftarrow) -- импликация (можно использовать $\Leftarrow, \to$ ($\Leftarrow, \to$))

• $\Longleftrightarrow$ (\Longleftrightarrow) -- двусторонняя импликация (можно использовать \Leftrightarrow, \leftrightarrow ($\Leftrightarrow, \leftrightarrow$))

Приведем несколько примеров логических формул:

Код:

$$\Large
\vdash \alpha \vee \bar{\alpha}
$$

Закон исключенного третьего:

$\Large \vdash \alpha \vee \bar{\alpha}$

Код:

$$\Large
\alpha \wedge \beta \vee \gamma \to 
\delta, \alpha, \beta \vdash \delta
$$

Код:

$$
\alpha \vdash \bar{\bar{\alpha}}
$$

Код:

$$\Large
\forall x \exist y F(x, y) \to \exist y F(y, y)
$$

Код:

$$\Large
\alpha \to \beta \vdash \bar{\beta} \to \bar{\alpha}
$$

Закон контрапозиции

Код:

$$\Large
\forall x \forall y \alpha(x, y) \vdash 
\forall y \forall x \alpha(x, y)
$$

Код:

$$\Large
\forall x \overline{\alpha(x)} \vdash 
\exist x \overline{\alpha(x)}
$$

$~$

Дифференциальное и интегральное исчисление

B этом разделе собраны символы, наиболее часто используемые в дифференциальном и интегральном исчислении.

Код:

\int     интеграл 
\iint    двойной интеграл 
\iiint   тройной интеграл 
\oint    круговой интеграл 
\partial частная производная 
\infty   бесконечность 
\lim     предел
\to      стрелка (в пределах)

Примеры использования.

Код:

$$\Large
\int_{0}^{3} f(x) dx, \\
\iint_{x^2 + y^2 = 1} f(x, y) dx dy, \\
\iiint_{x^2 + y^2 + z^2 = 1} f(x, y, z) dx dy dz. \\
$$

Для двойных и тройных интегралов нужно использовать приведенные выше обозначения. Еще примеры:

Код:

$$\Large
\iint\limits_{x^2 + y^2 = 1} f(x, y) dx dy
$$

Код:

$$\Large
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$

Код:

$$\Large
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e
$$

$~$

Теоретико-групповые конструкции

Здесь описаны символы, часто используемые в теории групп, колец и вообще алгебраических систем. При описание используется терминология теории групп.

Код:

\times              прямое произведение 
\oplus              прямая сумма 
\wr                 сплетение 
\circ               свободное произведение \triangleleft       нормальная подгруппа 
\le                 подгруппа 
\stackrel{i}{\le}   внутренне-допустимая 
                    (нормальная) подгруппа 
\stackrel{a}{\le}   автоморфно-допустимая 
                    (характеристическая) подгруппа 
\stackrel{e}{\le}   эндоморфно-допустимая (вполне 
                    характеристическая) подгруппа

Примеры использования

Код:

$$
G \times H A \oplus B G \wr H G \circ H H 
  \triangleleft G, G \triangleright H 
  H \le G H \stackrel{i}{\le} G H 
  \stackrel{a}{\le} G H \stackrel{e}{\le} G
$$

$~$

Геометрия

Здесь собраны некоторые геометрические символы:

Код:

\angle          угол 
\bot            перпендикулярность 
\parallel       параллельность 
\circ           градус

Примеры использования:

Код:

$$\Large
\angle ABC \\
AB \bot CD \\
AB \parallel CD \\
\alpha = 90^\circ \\
$$

$~$

Заключение

B LaTeXe очень много команд и трудно описать их все. Да наверное, это и не нужно. Действительно, наиболее часто используемые команды уже описаны, a оставшиеся - используются относительно редко. Поэтому можно закончить обзор команд LaTeXa.

При подготовке руководства использованы материалы форума e-science.ru